Con Runtime.getRuntime().exec() lanzas el ejecutable y te devuelve un Process.
El waitFor() del process, como indica el comentario, espera que el proceso que has lanzado (el comando de backup en este caso) termine. Ese método waitFor() devuelve un entero que es el resultado del proceso. Convencionalmente, un proceso devuelve 0 si todo ha ido bien y un número distinto de cero si ha habido algún error. En ocasiones ese número puede indicar el error concreto. En cualquier caso, que devuelva 0 para éxito y otro número para error depende del comando en sí (en este caso de mysqldump), no de java.
Salvo que se esté muy seguro de que mysqldump devuelve un 1 en caso de error, lo más correcto sería
Código Java:
Ver originalif (copia_seguridad == 0) {
// todo ha ido bien
} else {
// ha habido algún fallo.
}
Se bueno.