Pues con una simple función elaborada en JavaScript, es suficiente, no es necesaria una petición asíncrona (Ajax).
Asigno un Id a cada caja y al botón que ejecutará la función que sumará los valores en cuestión. Esto es para poder tomarlos fácilmente, aunque hay otras formas. Luego, cuando pulse el botón (evento
click), verifico que el valor ingresado en la segunda caja sea un número (diferente a
NaN que significa "Not a number"), de ser un número, realizo la suma y la asigno a la tercera caja.
Saludos