He conseguido al final hacerlo funcionar. El error probablemente estaría en el segundo archivo.
He cambiado esto:
Código PHP:
<option value = <?=$row["producto"]?> <?=$row["producto"]?> </option>
por esto otro:
Código PHP:
while ($row = mysql_fetch_array($query)){
$producto = $row["producto"];
echo'<option value = "$producto">'.$producto.'</option>';
}
Y ya funciona perfectamente.
Muchas gracias por toda la ayuda. Espero poder colaborar más en el foro a partir de ahora, ya que muchas dudas se me han resuelto sin necesidad de registrarme, ahora que estoy registrado intentaré ayudar yo también.