Gracias a todos los que respondieron, al final era el servidor compartido que tenía el problema:
PhpMailer con smtp de google se puede con las siguientes configuraciones.
HOST:
Código PHP:
$mail->Host = "smtp.googlemail.com";
o
Código PHP:
$mail->Host = "smtp.gmail.com";
PUERTOS:
Código PHP:
$mail->Port = 587;
$mail->SMTPSecure = "TLS";
o
Código PHP:
$mail->Port = 465;
$mail->SMTPSecure = "SSL";