En el mismo SQL.
Código PHP:
SELECT fecha,
CASE MONTH(fecha)
WHEN 1 THEN 'Enero'
WHEN 2 THEN 'Febrero'
WHEN 3 THEN 'Marzo'
WHEN 4 THEN 'Abril'
WHEN 5 THEN 'Mayo'
WHEN 6 THEN 'Junio'
WHEN 7 THEN 'Julio'
WHEN 8 THEN 'Agosto'
WHEN 9 THEN 'Septiembre'
WHEN 10 THEN 'Octubre'
WHEN 11 THEN 'Noviembre'
WHEN 12 THEN 'Diciembre'
END nombre_mes
FROM tabla;