Te lo está diciendo el mensaje de error.
Dónde
Cita: LaCadena.cambiarContenido(LaCadena.java:29)
Por qué
Cita: java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: String index out of range: 8
Sin saber cuál es la línea 29 diría que el problema lo tienes aquí
Cita: for(i=longitudContenido;i>=0;--i)
{
this.contenidoInverso=this.contenidoInverso + this.contenido.charAt(i);
}
La longitud de una cadena de 8 caracteres es 8, pero las posiciones van del 0 al 7, y tú le estás pidiendo la posición 8.