Muchas gracias, ese era el problema, :D
Resulta que en /var/lib/php/session/ había varios millones de archivos. Los borré y ya funciona.
Creo que el origen es que mi web está programada en una versión antigua de php y tengo que corregir algunas funciones obsoletas, como session_register().
Muchas gracias
Cita:
Iniciado por jarios 
Puede que no queden inodos libres. Prueba con el comando 'df -i' a ver que te dice.
Saludos.