Simplemente usando PHP, haz un codigo aleatorio, ponselo de name, y listo, te explicare por que
Efectivamente como dice TSG todo se guarda en el navegador, ¡pero no haz notado que tu Correo de facebook sale en autocompletar de otras paginas? eso es debido a que ambas webs tienen
Lo que hace que el navegador sienta que ambos solicitan la misma informacion, al crear un HASH o RAND, se enviara con ese name, obviamente necesitas que el name sea Q para que el google haga la busqueda, pero con un poco de javascript puedes hacer maravillas, simplemente pon "Onclick" en el submit, y con una pequeña funcion pones a cambiar el name, de manera que lo detecte bien el google, pero nose vea nada hasta enviar, si no me explique avisame y te paso codigo simple ><