Ya lo he SOLUCIONADO.
He borrado de nuevo la BD "proyecto" y la tabla "registro".
Y las he creado con Tipo InnoDB ambas.
Luego volví a crear un usuario llamado "registro" esta vez CON TODOS LOS PRIVILEGIOS.
Reinicie apache2 y mysql y cargue de nuevo la página web, rellene el form y en concreto ya me muestra los datos y además los almacena en mi BD "proyecto".
Muchas gracias por las respuestas. Una cosa si dejo comentada la línea
ocurre algo ??.
Gracias a todos por su ayuda. Luego crearé otra cuestión que me surge.
@jooni09lo --> Antes le había dado al usuario "registro" solo algunos permisos para la BD proyecto y la tabla "registro".
Creo que ese era el fallo, pero era raro porque en modo localhost si me funcionaba guardar los datos. En fin ya esta solucionado. Gracias