Tienes que hacer dominio ns ns1.dominio.com lo mismo con la 2 y luego ns1 A ip.
Eso es todo, has puesto muchas capturas pero no las he revisado todas, más que nada por que tienen partes ocultas y cuesta mucho leerlas así.
La ns1 no resuelve por que esta mal, para que haga ping tiene que tener un registro A.
Esto otro:
Cita: Pero sorprendentemente hago un ping a dns1.otrodominio.com y obtengo esto:
rb@r0:~$ host dns1.otrodominio.com
Host dns1.otrodominio.com not found: 3(NXDOMAIN)
Haces ping, pero no haces ping, un ping es un ping y lo de host es para ver el hostname de una ip o ver a que ip apunta un hostname.
Tienes mucho lio, si no sabes bien usar linux y plesk lo ideal es que uses cloudflare para las dns, si no te quieres complicar, lo otro es que pidas ayuda al soporte o que pagues a alguien para que te lo repare.
Si dejarás aquí el dominio sería más fácil ver que es lo que esta fallando.
Las DNS es cosa sencilla, solo hay que crearlas en el registrador, luego configurarlas, dominio ns ns1.dominio.com como te dije antes y luego un registro A ns1 A ip, es así de sencillo, luego solo tienes que agregarlas al registrador, y OJO que registrarlas y agregarlas no es lo mismo.