Pues para que no recargue la página podrías usar
Ajax.
Aquí te dejo unos artículos que escribí en mi blog de como realizar peticiones
Ajax:
Ajax con Javascript Ajax con JQuery (Si usas la libreria de javascript JQuery)
Si no lo ves claro, también puedes buscar en google:
ajax javascript o
ajax jquery.
La cuestión, que tal y como lo tienes montado, con una petición ajax deberás modificar algunas cosas, como por ejemplo que el formulario lo gestione otro archivo php que devuelva una respuesta, porque de la manera que lo tienes puesto, envía toda la página entera, con Ajax solo te interesa la respuesta.
Otra posible solución sería recargando la página pero al formulario: