Claro, el valor
cover siempre va a recortar algo de la imagen, si no fuese así, entonces tendría que deformar la imagen, ¿no?
También puedes probar indicando
content, pero te va a recortar también, aunque de otra forma. Y adicionalmente usando
background-position tienes un poco de control de hacia donde se recortará.
Lo que no puedes pretender es que siempre se vea la imagen sin deformar adaptada a cualquier resolución, porque es
física-digitalmente imposible.
