Cuando se cierra una pestaña el navegador mantiene la sesión, salvo que el servidor cierre dicha sesión, por lo que sería normal el comportamiento que describes.
Pero cuando el navegador se cierra, lo normal es que se pierda la sesión a menos que la mantengas mediante cookies.
Cuando dices
Cita: así que la siguiente vez que el usuario se loguea le dice que ya estaba logueado
imagino que es simplemente por que mantienes un registro en bd, pero no lo desmarcas en ningún momento. SI es así, te sugiero que almacenes la hora de la última actividad del usuario, y luego de cierto tiempo se considere desconectado.