Es que todo esta mal, no es necesario cambiar la extensión del archivo de html a php.
tienes que crear un archivo php independiente que procese los datos, ya sea que recupere los valores por get o por post, después de recuperaros tienes que pasarlos a una función que haga el envió.
En lo que veo solo has copiado un código de san google pero no has considerado que es unicamente ilustrativo, tienes que personalizarlo para que tome los valores de tu formulario.
en esta linea <form id="form" method="post" > ya le indicaste que se envía por POST pero te falta especificarle que archivo procesa los datos
por ejemplo tendría que verse así
Código HTML:
Ver original<form id="form" action="enviar_email.php" method="post" >