Prueba con esto:
Código PHP:
<?
// código
echo '<input type="text" name="nombre" id="nombre" value="' . $fila[nombre] . '">';
echo '<input type="text" name="apellidos" id="apellidos" value="'. $fila[apellidos] . '">';
// sigue código
?>
Con las comillas simples no es necesario escapar más que las mismas comillas simples.
En principio no debería darte ningun problema con las comillas en ningun caso, haya introducido o no comillas en el nombre o en el apellido. Ya que digamos que el php no las procesa si vienen de una variable.
Yo creo que el error estaba en tu html, porque los atributos
type,
name e
id no habias puesto las comillas a sus valores.
Ya me diras si lo solucionas.