Solucionado. Me fijé en como realizaba la petición el Google Chrome, y al poner esto en la cabecera del WebClient se ha solucionado:
Código:
objWebClient.Headers["User-Agent"] = "Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/28.0.1500.72 Safari/537.36";