Si es GNU grep, podés usar la opción -o (solamente mostrar las partes de la cadena que cumplan el patrón):
Si no es GNU grep, dado que grep no tiene la capacidad de guardar coincidencias (usando paréntesis), sed o awk pueden ser mejores opciones:
Código BASH:
Ver originalsed 's/^[^"]*"\(.*\)"[^"]*$/\1/g' archivo
Si estás seguro de que cada línea solamente contiene cosas de la forma
cadena = "literal";
podrías usar un método que se rompe fácilmente si hay algo inesperado, pero es una de esas soluciones que funcionan el 90% de los casos y muchas veces son suficientes para scripts de un solo uso:
Saludos.