El TCPDF, utiliza la el método output para generar el archivo, este método recibe 2 parámetros, el primero es el nombre del archivo, y el segundo, el destino. En el segundo parámetro puede recibir los siguientes valores:
I: Envía el archivo en línea al navegador (comportamiento por defecto). Si se encuentra el plugin, lo utiliza. El nombre utilizado como primer parámetro, es utilizado cuando se escoge la opción "Guardar como..."
D: Lo envía al navegador y fuerza la descarga con el nombre dado en $name
F: Guarda el archivo en el servidor con el nombre dado en $name
S: Devuelve el documento como una cadena
FI:Equivalente a las opciones F+I
FD: Equivalente a las opciones F+D
E: Devuelve el documento como un adjunto en base64 con tipo mime multi-part email (RFC 2045)
TCPDF::output
Lo que tienes que hacer es guardar el archivo en el servidor con la opción 'F', luego utilizar el nombre utilizado en el primer parámetro ($name), junto con la dirección completa en donde se guarda, por ejemplo:
'/docs/archivo.pdf'
y eso es lo que se envía al navegador, se crea el enlace o con window.open debería iniciar la pantalla de descarga.
Intenta de nuevo y cualquier problema me comentas