El problema real no tiene que ver con list-style, la cosa anda en
style.css en la línea
#395:
Esa posición absoluta es tu problema, si la quitas deberías de poder verlo bien.
Al usar list-style el problema seguía ahí, aunque un poco menos obvio porque hace que cada elemento de la lista tenga una altura. Al quitarlo, entonces las listas no tienen altura, porque los enlaces están posicionados de forma absoluta y no están en el flujo natural del HTML.