Para empezar hay un problema con las comillas. Pusiste una al comienzo de $fecha_inicio y no la cerraste. Entonces la consulta está buscando que fecha_registro sea mayor o igual a algo inexistente ('$fecha_inicio AND `fecha_registro`<= ') que es lo que figura entre comillas. Además, con el desplazamiento de comillas, aparece la variable $fecha_fin sin ninguna instrucción y por eso da error. Fijate de poner las comillas donde van
