Hola,
Tienes varios errores en ese código aquí te dejo como sería:
Código:
<script>
function cambiar_precio(){
if (document.getElementById('check').checked){
document.getElementById('precio').innerHTML = 'Precio USD';
}
else{
document.getElementById('precio').innerHTML = 'Soles';
}
}
</script>
<p id = 'precio'>Precio USD</p>
<input type = 'checkbox' value = '1' id="check" name = 'chb_sin_tipo_cambio' onclick = "cambiar_precio()">
1º estabas accediendo a un párrafo con id precio en vez de al checkbox.
2º en las condicionales no hace falta poner igual a algo ya que automáticamente trae el valor al seleccionarlo y si lo igualaras tendrías que usar '=='.
3º el input no tenía ninguna id por lo cual no podías acceder a él.
Espero que te haya resultado de ayuda.
Saludos.