Sí, en los Extended Permission marque lo de "manage_pages".
He puesto en el código lo siguiente:
$page_info = $facebook->api("/$page_id?fields=");
print_r($page_info);
Para así sacarme todos los campos que haya en el array y me muestra lo siguiente:
Array ( [id] => 144999925745781 [app_id] => 0 [can_post] => [category] => Food/beverages [checkins] => 0 [has_added_app] => [is_community_page] => [is_published] => 1 [likes] => 0 [link] =>
http://www.facebook.com/pages/xxxxx/144999925745781 [name] => Prueba Empresa [talking_about_count] => 0 [were_here_count] => 0 )
Es decir, nada del access_token ni nada parecido. En fin, seguiré buscando alguna alternativa. Gracias de todos modos