diferencia entre parseint y tointeger?

[Fuzzylog]

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En cuanto a tu pregunta

(Integer) variable => Implica castear una variable a Integer, es decir forzar una conversión de tipo. Se usa cuando se sabe que variable es de tipo Integer pero en el código por algún motivo se está mostrando como Object.

{variable}.parseInt; => Sería Integer.parseInt(String variable) aunque existen algunos otros métodos. Se usa para convertir un String, por ejemplo "17" a un valor de tipo entero. En este caso no devuelve un Integer (Objeto) sino el tipo primitivo int que es lo que contiene ese objeto.

Si lo que quieres es obtener el Integer es recomendable usar Integer.valueOf(String variable);