Cita:
Iniciado por SeaPirates 
¿Hay algún modo de que esté definida en todos los archivos donde incluya la clase?
No es un problema con mysqli.Sino con cómo usas clases.Si lo que esperas es que "una variable esté definida en todos los archivos donde incluyes la clase donde la usas", es que estás programando orientado a "scripts".
Lo que necesitas es :
1) Hacer que la conexión sea una variable miembro de la clase.
2) Un método que devuelva dicha variable miembro.