Ok aquí tienes varias cosas:
1.- Un cliente para el juego
2.- Un servidor para el juego
3.- La base de datos
4.- El servidor web
Si bien un hosting compartido es muy limitado solamente te dan acceso a FTP y a un pedacito de un servidor web, probablemente compartido con mas clientes. No te dejan meterle mas cosas y obviamente tu no te encargas del mantenimiento del servidor.
Un servidor dedicado puede ser demasiado costo, para iniciar (al menos 120 USD al mes). La mejor opción en este caso es un vps para empezar (20USD al mes pero hay mas baratos).
Otra cosa veo que script del cliente/servidor de sockets es simplemente una copia de los tantos scripts de ejemplo que existen. Ademas eso no va a funcionar para mas 2 clientes. Te recomiendo usar
twisted es mas robusto y a sido probado en varios proyectos.
Ahora si bien puedes usar REST para ciertos aspectos del juego como estadisticas, rankings, etc.., pero no para la comunicación del cliente, servidor del juego.
Incluso el simplemente hecho de usar TCP para ciertos aspectos del juego no es una buena idea.