Ok.Entonces, supongamos que llega la Request 4.
La request 4, tiene, primero, que saber qué fichero es el último escrito.
Hay muchas formas de hacer esto, pero, para no liar más la cosa, vamos a "lo bestia".Debe mirar si existe MiTexto1.txt...MiTexto2.txt..miTexto3.txt...
Cuando llegue a un número (índice), y no exista el fichero, ya sabremos cuál es el último.
Lo anterior se resuelve con un bucle, y file_exists().
Ya sabe en qué fichero debe escribir.
Ahora le queda por saber CUÁNTAS líneas hay ya escritas en miTexto3.txt, para saber cuándo saltar.
Esto lo sabes con la función file(), y count().
Para que no tengas que modificar lo que ya hay dentro del bucle, lo más sencillo, es inicializar $counter a 40*(numero de ficheros completos)+(numero de lineas en el ultimo fichero).
Si al entrar al script, no existe fichero ninguno, $currentFile debe ser NULL, y $counter==0.
Si ya existen ficheros, $currentFile=fopen(<ultimo_fichero>,"a"), y $counter=40*(numero de ficheros completos)+(numero de lineas en el ultimo fichero, que está incompleto)...