lo principal que veo que tienes que hacer es consultar el manual de php5 ya que
var es de php4, ahora se usan la visibilidad en las
propiedades, ademas también por estandar debería de las clases debería de empezar con mayúsculas, los métodos debería de utilizar lowerCamelCase mas información para los estandares en el link que tengo en mi firma, ahora yendo a tu código
el atributo $this->conexion nunca esta siendo declarado, solo es u atributo pero nunca lo llenas, no puedes esperar que te de algo, ahora si retornaras $conexion o igualaras este a el $this->conexion es otra cosa.
de todas maneras hay varias clases de conexión que se han realizado acá en el foro, sería bueno que buscaras y tomaras ejemplo de ellas, saludos