Procesar un formulario dentro de un div y mostrar su resultado en el mismo div

[emprear]

Creo que la opción de cargar el form en otro div te va a resultar lo más práctico
luego usá tu función ajax, salvo que esta vez
peticion.open("GET", datos);
debería ser
peticion.open('GET','pagina1.php?nombre='+elnombre +'&apellido='+elapellido, true);

es decir los "datos" serían la url del php(action del form) + los parámetros de la query_string, las variables elnombre y elapellido las obtenés document.getElementById para esos campos

y al sacar el responseText en el div contenido haces
document.getElementById(id_quetiene_el_include).st yle.display = "none";

Ojo que es tan solo un ejemplo

Saludos