mostrar en un option consulta mysql con jquery

[siguiendolaluna]

Hola muchachos queria saber si me pueden ayudar quiero llenar un combo select option segun lo elegido
aca pongo los codigos

Código HTML:

<form name="form1" method="post" action="">
   <table width="70%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" align="center" style="background-color:#FFC">
       <tr>
        <td><label for="categoria">Categoria:</label></td>
        <td>
        <select name="categoria" id="categoria" onChange="buscar();">
            <?php $registro = mysql_query("SELECT * FROM categorias");
            while($reg=mysql_fetch_array($registro))
            {
                echo '<option value="' . $reg['id_categoria']. '">' . $reg['categoria']. "</option>";
            }
            ?></select><br /><br /></td>
      </tr>
      
      <tr>
        <td><label for="producto">Producto:</label><br /><br /></td>
        <td>
        <select name="producto" id="producto"></select></td>
      </tr>      
       
      </table>
      </form>
    </div>
</div>
<script type="text/javascript" src="include/jquery.js"></script>
<script type="text/javascript" src="include/jquery.min.js"></script>
<script type="text/javascript">
function buscar()
{
    var categoria = $("#categoria").val();
    $.ajax({
        type:"POST",
        url:"code_option.php",
        data: "cate="+ categoria,
        dataType:"json",
        success: function(data){
            $("#producto").empty();
            for(var i=0; i < 20 ; i++)
            {
                $("#producto").append('<option value="'+i+'">'+data[i]+'</option>');
            }
        },
        error: function(jqXHR,textStatus,errorThrown){
            alert(textStatus);
        }
    });
}
  </script>
</body>
</html>
 

segun la opcion de la categoria a traves de jquery va al archivo que ejecuta la consulta y muestra los productos segun categoria, pero no logro llenar el option de los productos

Código PHP:

$conec = mysql_connect($host,$user,$pw) or die("no se puede conectar al servidor");
            mysql_select_db($db,$conec)or die("no se conecto a la BD");
 
$categoria = $_POST["cate"]; 
$registro = mysql_query("SELECT productos.id_producto, productos.nombre 
                            FROM productos
                            WHERE id_categoria = ". $categoria ." ");
           $produc = array();
            while($reg=mysql_fetch_array($registro))
            {
                 $id = $reg['id_producto'];
                 $product[$id] = $reg['nombre'];
                 
            }
$productos = $nombre[$id];
die(json_encode($productos, JSON_FORCE_OBJECT));
 

no se en que estoy fallando, pero no me devuelve nada al formulario