No hace falta usar bind_result para el tipo de consulta INSERT
Prueba esto si te funciona:
Código PHP:
$sentencia = $mysqli->prepare("INSERT INTO cliente (nombre,apellido,rut,telefono,celular,direccion,comuna) values(?,?,?,?,?,?,?)");
$sentencia->bind_param('sssssss', $nombre, $apellido, $rut, $telefono, $celular, $direccion, $comuna);
$sentencia->execute();