Como ya bien te lo dijeron la mejor manera de manejar cadenas de conexion es en los archivos de configuracion en tu caso web.config que justamente es para lo que quieres cuando cambias el servidor solo lo cambias en el archivo de configuración, no necesitas ir código por código cambiando la configuración.
Mira un ejemplo.
Código C#:
Ver original<connectionStrings>
<add name="defautl" connectionString="Data Source=.; Initial Catalog=basedatos; Integrated Security=SSPI providerName="System.Data.SqlClient" />
</connectionStrings>
Aqui defines tu cadena de conexion en el web.config ahora para recuperar la cadena de conexion en tu codigo arias lo siguiente.
Código C#:
Ver originalusing (SqlConnection conn = new SqlConnection(ConfigurationManager.ConnectionStrings["default"].ToString()))
Ahora aqui ya tienes tu cadena de conexión en la variable cnn y la puedes usar para tus operaciones.