Como puedo printar categorias recursivamente padres/hijos

[patriciomase]

Para empezar el arreglo no debe ser asociativo y tiene que estar ordenado sin saltear numeros ni nada raro. (o sea los indices. 0 1 2 3 4 5 y asi)
de lo contrario podes usar array_values() antes y te extrae los valores.

Código PHP:

public mostrarCategoria($arreglo, $i = 0){
 
  if(isset $arreglo[$i]){
    echo $arreglo[$i]['name'];
    mostrarCategoria($arreglo['children'], 0);
    mostrarCategoria($arreglo, [$i + 1]);
  }
}
 

no lo probé pero algo como eso creo que debería funcionar