Y aquí la solución! 
 
Agregué dentro de la función slide: function( event, ui ) las dos lineas, y las dos del final.    
Código Javascript
:
Ver original$( "#slider-precio" ).slider({
            range: true,
            min: 0,
            max: 500,
            values: [ 0, 300 ],
            slide: function( event, ui ) {
                $( "#precio" ).val( ui.values[ 0 ] + "€" + " - " + ui.values[ 1 ]+ "€" );
                $("#inputprecio_min").attr('value', ui.values[ 0 ]);
                $("#inputprecio_max").attr('value', ui.values[ 1 ]);
            }
        });
        $( "#precio" ).val( $( "#slider-precio" ).slider( "values", 0 ) +
            "€ -" + $( "#slider-precio" ).slider( "values", 1 ) + "€" );
 
$("#inputprecio_min").attr('value', $( "#slider-precio" ).slider( "values", 0 ));
        $("#inputprecio_max").attr('value', $( "#slider-precio" ).slider( "values", 1 ));
  
Saludos!