Desde el phpmyadmin, busca la opción de Exportar. Desde ahí selecciona las tablas que quieras exportar (todas si vas a exportar toda la base de datos) y para que ocupe menos el backup, puedes seleccionar la opción de "Inserts extendidos" (vamos, creo recordar que era esa...) y también es ideal comprimirlo en archivo zip o gzip para que te lo presente como descarga.
Una vez hecho, dentro del archivo zip o gzip tendrás un .sql con toda la base de datos.
En el host donde quieras recuperar dicha base de datos, le das a SQL (para hacer una consulta SQL) y verás abajo que hay un campo para meter un archivo y que dice algo así como "Hacer SQL desde un archivo"... pues ahí cargas el .sql y le das a empezar
Pero ten cuidado de cuánto ocupa la base de datos (en resumen, el archivo .sql) pues el php tiene un limite de tamaño de archivo (2 Mb por defecto) y además cuanto más ocupe más tardará y podría caerse el servidor... ante lo cual lo mejor sería ir restaurando la base de datos poco a poco