Reiniciar un campo de texto al enviar formulario (sin recargar página)

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No es culpa de jQuery, Ajax o HTML sino de que hayas usado un botón de tipo submit. Al pulsar sobre un botón submit el formulario se envía porque es la acción por defecto, cambia ese botón por un <button>boton</button> normal o en su defecto usa event.preventDefault() o return false; en tu código. Como prefieras.