Hola
Middrel antes de seguir, deberías echarle un vistazo a lo básico sobre clases
http://php.net/manual/es/language.oop5.basic.php (hay muchísima información si buscas en Google)
Una vez arregles el error de mysql saldrá otro de métodos y variables no definidas, etc...
Las clases no corren como el código simple de php. Estas tienen que ser instanciadas (llamadas) para poder usar sus funciones. Al igual que las funciones que hay en el interior de las mismas. Para que hagan su trabajo, debes ser invocadas (llamadas).
Después el tema de las variables. La programación en PHP OO está basada en la encapsulación. Que en resumen si vas a utilizar variables externas a las clases, o entre ellas, primero tienes que introducirlas. (Esta es la clave de por que no funciona la query)
Esto no es fácil de explicar en pocas líneas, por eso te recomiendo que leas al respecto, e intentes entender como funciona. Y verás como empezarás a detectar rápidamente los errores claros que hay en esas clases.
Saludos,