Mostrar y ocultar es una tarea que consiste en alternar el valor de la propiedad css "display" sobre un elemento, según sea su
tipo: a "block" o "inline" para mostrar y a "none" para ocultar.
También podes alternar entre los valores "visible" y "hidden" de la propiedad "visibility" si necesitas que el elemento siga ocupando su lugar en el flujo de documento.
Este ejemplo puede servir para ilustrar tu caso.
Añadir y quitar elementos es una tarea un poco más compleja puesto que se debe trabajar con el
dom.
Sobre el formulario que citas, puede que además los campos añadidos necesiten consultar una base de datos, para lo cual deba usar la técnica
ajax.
Espero te sea de ayuda.
Saludos.