Lo que vos querés es el comportamineto por defecto del textarea para todos los navegadores.
El efecto que mencionás se produce si le aplicas el atributo warp="off" que no es estandar. Hay varias forma s de hacerlo con css
Puede que algún reset u otro css estén afectando.
Código HTML:
Ver original<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"> <meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=utf-8" /> <textarea name="xxx" cols="20" rows="10" wrap="off">aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
</textarea>
<textarea name="xxx" cols="20" rows="10">aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
</textarea>
Saludos