Script de moderación

[repara2]

¿Qué orden debe llevar la base de datos para que vayan cambiando las publicaciones tras aprobarlas/rechazarlas para que aparezcan otras?
No se entiende muy bien la pregunta, pero haces un select de xx publicaciones, ordenado por el campo x y donde el usuario actual no haya votado aún
¿Cómo puedo hacer que un usuario no vea más de una vez la misma publicación?
Necesitas una tabla para guardar la relación usuario-voto. De manera que cada vez que un usuario vota insertar un registra usuario_id / publicación_id y así puedes controlar quién vota qué. Esta tabla te soluciona el problema que planteas en 1.
Esto se haría con Ajax, para no tener que recargar la página, ¿no?
No necesariamente. Utilizar AJAX es tu decisión pero no hace falta.
¿Cómo haría para que pasado x tiempo el registro se elimine, si ha sido rechazado, o pase a la tabla publicación, si ha sido aprobado?
Necesitas un script que elimine los registros según tu criterio y un cronJob que lo ejecute periódicamente.

Sobre cronJobs puedes leer en Google. Lo demás depende un poco de tu aplicación pero en realidad las posibilidades en cuanto a diseño de DB son pocas, lee un poco acerca de diseño de tablas antes de continuar. Saludos