Lo que creo que te pasa es que estas confundiendo términos
Una cosa son los usuarios de mysql y otra cosa es una tabla con usuarios para tu web.
Los usuarios mysql son utilizados para dar acceso y restricciones a los usuarios sobre una base de datos. En php cuando haces una conexiona una base de datos con mysql_connect te conectas a una base de datos en la que el usuario que especificas en los parametros de la conexion es el usuario que tiene privilegios para utilizar esa base de datos.
NEONARCK estás mezclando datos de una tabla con los usuarios de un servidor mysql lo cual no es posible.
Cuando pones
password = password('$password') es probable que mysql te este devolviendo un error y no te enteras pq no lo estás tratando debidamente.
Si sustituyes
password = password('$password') por password = '$password'
y
password = password('$new_password') por password = '$new_password'
te funcionará correctamente
