Array con bucle for sencillo...

[Fuzzylog]

1º En arrays, colecciones y demás, el primer elemento es el de posición 0. Así que si tienes 200 elementos tienes que contar de 0 a 199.

2º El bucle for se plantea así:
Desde: i = 0;
Mientras que: i < 200; (elemento 199 que es el último. Cuando no se verifique la condición el bucle deja de funcionar)
¿Cómo? i++; (incrementando de 1 en 1)
¿Qué deseas hacer? => Introducir i+1 en cada posición del array... ergo

int i = 0;
String[] numbers = new Array(200);
for (i = 1; i < 200; i++){
numbers[i] = String.valueOf(i+1);
}

:/ 1... 2... 3... ... 200

Consejos:

Ten a mano algún manual con lo que tocas (bucles, etc) y aprende bien como funcionan.
Revisa la api de java cuando quieras conocer los constructores y métodos de una clase que uses.
Practica... haz bucles hasta que te canses, y luego pasa a otra cosa.