Para que te funcionase, tendrías que tener el fichero style.css en el propio correo.
En estos casos, lo que deberías hacer es, o usar el atributo "style" como bien ha indicado Eleazan, o utilizar la etiqueta "<style></style>" en el head, escribiendo dentro el código CSS que desees. Te quedaría de la siguiente forma:
Código:
$mensaje .= '
<html>
<head>
<title>Recordatorio de cumpleaños para Agosto</title>
<style>
#objeto1 {
color: #000;
}
...
</style>
</head>
<body>
...