Si quieres usar ids sería así:
var div = $(this).attr("id");
$("div#"+div).remove();
<div id="id_1">1</div>
<a href="#" id="id_1" class="eliminar">Eliminar div 1</a>
Haciendo que coincidan, a no ser que quieras seguir un patron, como un inicio común o algo. El ejemplo que me has puesto no funcionaría.
Primero por que no coincide el ID del enlace con el del div, y segundo por que el selector en jQuery lo has puesto mal, en tu caso seleccionas un elemento con el id #div_[lo_que_valga_id] y no tienes ningún div que coincida.
Salu2.