Finalmente lo conseguí. La base de datos la había creado con el complemento SQL Manager de Firefox. Automáticamente le agrega la extensión .sqlite al final del archivo. Finalmente, probando y probando, pude conectar de esta manera:
Código PHP:
<?php
$db = new SQLite3('db/productos.sqlite.db');
$results = $db->query('SELECT * FROM productos');
while ($row = $results->fetchArray()) {
echo $row ["marca"]."<br />";
}
?>
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