Problema variable en el WHERE

[jurena]

Creo que realmente es un problema de php. Quizás así lo resuelvas.
$sql_qty = "UPDATE t_stock SET cantidad = cantidad + $qty WHERE producto = '{$producto}' ";

si pones entre comillas '$producto' lo entiende no como una variable sino como una cadena de texto, es decir, no se trae el valor sino que busca exactamente $producto y ningún producto se llama $producto.