Lo que querés hacer requiere una técnica de programación que se conoce comúnmente como "Ajax" y requiere JavaScript.
Te recomiendo que investigues la librería jQuery, que entre otras miles de cosas incluye funciones Ajax. Con esa librería lo que querés hacer es una tarea trivial. Sería algo como:
Código:
$("#boton-cargar-html").click(
function() {
$("#contenedor").load("contenido.html");
}
);