Si haces la comprobación fuera del if, la primera vez que entre en la página, $_POST no estará inicializado, luego te dará error de undefined (como tú dices). La extracción de los datos debe estar dentro del if, prueba esto:
Código PHP:
if (isset($_POST['grabar'])) {
$codigo =$_POST['codigo'];
$nombre =$_POST['nombre'];
$cedula =$_POST['cedula'];
$direccion =$_POST['direccion'];
$telefono =$_POST['telefono'];
$insertar = new cliente();
$insertar->agregarEmpleado($codigo, $nombre, $cedula, $direccion, $telefono);
}
Si sigue sin funcionarte, asegúrate de que tienes hechos bien todos los includes de las clases que estás utilizando, aunque creo que si los tienes al principio del php.
Y en cuanto a lo del formateo del primer fichero, como te comentaba antes, está muy mal, pégale un buen repaso, sobre todo si es para entregar en clase, porque tiene muchos fallos y son fallos de HTML, no tiene nada que ver con PHP Orientado a Objetos, tienes etiquetas duplicadas, código que sobra, cierre de etiquetas sin inicio... Te lo digo como consejo.
Un saludo y espero que con esto te funcione.