Bueno, finalmente
ya lo he solucionado (con las indicaciones de gnzsoloyo).
Edité con gedit la estructura de la tabla dando a los campos y a la propia tabla cotejamiento (COLLATE) utf8_unicode_ci, después le di a [Guardar como] y seleccioné utf-8.
Todo esto teniendo en cuenta que en la cabecera de la página hay esta etiqueta meta:
Cita: <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
Y por último, justo después de seleccionar la base de datos, añado esto:
Cita: mysqli_query($conexion, "SET NAMES 'utf8'");
// Con mysql_query (en lugar de usar mysqli_query) sería: mysql_query ("SET NAMES 'utf8'");