Código mal escrito

[Nexus10]

Ese warning ocurre porque debes tener dos (o más) session_start() en el mismo archivo.
Seguramente estás utilizando en algún archivo sentencias include() para incluir código de otros archivos, y tanto en ese archivo como en el que se incluye estará puesto session_start(), con lo que se juntarían dos en el mismo archivo. Por eso con el if que has puesto se soluciona.

Con respecto a la otra cuestión, $nombre toma el valor de la variable $_POST. Esta variable es un array. Aquí están incluidos los datos que se envían desde un formulario. En alguna página tendrás un formulario con campos a rellenar o un menú con botones. Al enviar el formulario, los datos que has rellenado se guardan en la variable $_POST y en la página a la que has enviado el formulario los puedes rescatar.

Según el código que has puesto, seguro que será una serie de botones en la página de inicio para elegir donde quieres ir. El botón pulsado se guarda en $_POST y en ese código que has puesto se recupera que botón se pulsó y se hace una cosa u otra.

Lo que se envía al pulsar un botón es el value del botón, osea que tendrás algo así:

<input type="submit" name="accion" value="Contacto" />
<input type="submit" name="accion" value="carrito" />

Algo parecido a eso tendrás.