Por lo que veo, PHP está habilitado, y MySQL también.
En ese caso, bastaría con crear un sencillo script en PHP que permita que los usuarios de tu web puedan subir archivos a determinados lugares de tu hosting. O crearles un usuario para que accedan por ftp (más peligroso).
http://www.webtaller.com/construccio...chivos-php.php
Te dejo un manual para subir archivos por php, si tienes dudas no dudes en preguntar.